Mathematics 10 (Science) - KPK - Gain - Solution - PART - 16 - 24 Chapter 2

25 Chapter 2 

Exercise 2.2 

Q2ii). Evaluate 

( 1 + ω - 

ω 2 )7 Take LHS ( - 1 + i 3 ) 4 ( - 1 - i 3 ) 5 = 

( 2 ω ) 4 . ( 2 ω 2 ) 5 Sol: Since 

( 1 + ω -ω 2 )7 ( { } ) 

2 4 ω 4 .2 

5 ω10 16 32 

ω 

4 10 

512 ω14( ) 512 ω 12 . 

ω 2512 

( ω 3 ) 

4 ω 

2 

512 1. 

ω 

2 

512 

ω 

2 

Q4i). Show that Sol: Take RHS( x - y )( x - ω y )( x - ω 2 y ) ( 1 + 3 ω - ω 2 )( 1 + ω - 

2 ω 2 ) ( ) { ( ) ( ) } ( 1 + 3 ω - ω 2 )( 1 + ω - 2 ω 2 ) ( { } ) ( { } ) 

== × ==== × = 

( ){ } ( ) { ( ) } ( )( ) 

( ) { ( ) } ( )( ) ( )( ) 

( ){ } 

( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+ = 1 + ω - ω 2 7 ∴ 1 + ω + ω 

2 

= 

0 

= - ω 2 - ω 2 7 1 

+ ω = - 

ω 

2 

= ( - 2 ω 2 ) 7 = ( - 

2 

) 

7 ω 

2 ×7 

= - 128 ω 14 = - 

128 

ω 

12 + 

2 

= - 128 ( ω 3 ) 4 ω 2 = - 

128. ( 1 

) 

4 ω 

2 

= - 

128 

ω 

2 

Q2iii). Evaluate 

Sol: Since 

Q2iii). Evaluate ( 1 + 3 w + w 2 )( 1 + w - 2 w 2 ) Sol: Since ( 1 + 3 w + w 2 )( 1 + w - 2 w 2 ) ( )( ) ( )( ) 

x 3 - y 3 = ( x - y )( x - ω y )( x - ω 2 y ) = x - y x x - ω 2 y - ω y x - 

ω 

2 

y 

= x - y x 2 - ω 2 xy - ω xy + 

ω 

3 y 

2 

= 1 + ω + 2 ω - ω 2 1 + ω - 

2 

ω 

2 

= x - y x 2 - ω 2 + ω xy + 

ω 

3 y 

2 

= - ω 2 + 2 ω - ω 2 - ω 2 - 2 ω 2 ∴ 1 

+ ω = - 

ω 

2 

= x - y x 2 - - 1 xy + 

1.y 

2 

= - ω 2 + 2 ω - ω 2 - ω 2 - 

2 

ω 

2 

= x - y x 2 + xy + 

y 

2 

= 2 ω - 2 ω 2 - 

3 

ω 

2 

= x 3 - y 3 

= 

LHS = 2 ω - ω 2 - 

3 

ω 

2 

Hence 

x 3 - y 3 = ( x - y )( x - ω y )( x - ω 2 y ) = - 6ω - 

ω 2 ω 

2 

Q4ii). Show that 

( 1 + ω )( 1 + ω 2 )( 1 + ω 4 )( 1 + ω 8 ) = 1 = - 6 ω . ω 2 - 

ω 2 . 

ω 

2 

= - 6 ω 3 - ω 3 ω ∴ ω 

3 

= 

1 

= - 6 1- 

ω 

Sol: Take LHS 

( 1 + ω )( 1 + ω 2 )( 1 + ω 4 )( 1 + ω 8 ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) Rearranging the same factors 

( 1 + 2 ω )( 1 + 2 ω 2 )( 1 - ω - ω 2 ) = 

6 Hence 

Relation between the roots ( Solutions ) and the coefficients of the quadratic equation Let α , β be the roots of the quadratic 

equation so that 

and 

The Sum of the roots ( 1 + 2 ω )( 1 + 2 ω 2 )( 1 - ω - ω 2 ) = 

6 ( - 1 + i 3 ) 4 ( - 1 - i 3 ) 

5 = 

512ω 2 ( ) ( ) 

ω = - 1 + i 2 3 and ω 2 = - 1 - i 2 3 ⇒ 2 ω = - 1 + i 3 and 2 ω 2 = - 1 - 

i 3 = 1 + ω 1 + ω 2 1 + ω 3 ω 1 + 

ω 6 ω 

2 

= 1 + ω 1 + ω 2 1 + ω 1 + ω 2 ∴ ω 

3 

= 

1 

= ( 1 + ω )( 1 + ω )( 1 + ω 2 )( 1 

+ 

ω 

2 

) = 1 + w + w 2 + 2 w - w 2 - 

2 

w 

2 

= ( 1 + ω ) 2 ( 1 

+ 

ω 

2 

) 2 = 0 + 2 w - 

3 

w 

2 

= { ( 1 + ω )( 1 

+ 

ω 

2 

) } 2 = - 

6w 

3 

= - 

6 Q3i). Prove that Sol: Take LHS ( 1 + 2 ω )( 1 + 2 ω 2 )( 1 - ω - ω 2 ) = { 11 ( + 2 ω 2 ) + 2 ω ( 1 + 2 ω 2 ) } ( 1 

- { ω + 

ω 

2 

} ) = { 1 + 2 ω 2 + 2 ω + 4 ω 

3 

} ( 1 - { - 

1 

} ) 

= { 1 ( 1 + ω 2 ) + ω ( 1 

+ 

ω 

2 

) } 2 = { 1+ ω 2 + ω + 

ω 

3 

} 2 = { 0 + 

1 

} 

2 

=12= 1 = RHS 

( 1 + ω )( 1 + ω 2 )( 1 + ω 4 )( 1 + ω 8 ) = 1 = { 1 + 2 ( ω 2 + ω ) + 4.1 }( 1 + 

1 

) = { 1 + 2 ( - 1 ) + 

4 }( 2 

) = ( 1 - 2 + 

4 )( 2 

) =( 3 )( 2 

)ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 

0 α = 

- b + b 2 - 4ac 2a = 6 = 

RHS Hence 

Q3ii). Prove that 

Sol: As 

β = 

- b - b 2 - 4ac 2a Sum = α + β = - b + b 2 2a - 4ac + - b - b 2 

- 4ac 2a - b + b 2 - 4ac + - b - b 2 

- 

4ac = 

2a 

= 

- b + b 2 - 4ac - b - b 2 

- 4ac 2a 

= 

- b - b + b 2 - 4ac - b 2 

- 4ac 2a